ფიზიკა – ბრუნვითი მოძრაობის კინემატიკა. შესავალი

მყარი სხეულის მობრუნების კუთხე

ბრუნვითი მოძრაობისას, გადატანითი მოძრაობისგან განსხვავებით, სხეულის სხვადასხვა წერტილების სიჩქარეები არ არის ერთნაირი. ამიტომ მბრუნავი სხეულის რაღაც წერტილის  სიჩქარე ვერ ჩაითვლება მთელი სხე ულის მახასიათებლად.

ვთქვათ წერტილი О არის  სხეულის ბრუნვის ცენტრი, ხოლო ОО’ არის ბრუნვის უძრავი (ან მყისიერი) ღერძი.

ნებისმიერი М წერტილის მდებარეობა მოიცემა О ცენტრიდან გავლებული  რადიუს-ვექტორის მეშვეობით. ნახაზიდან ჩანს, რომ:

,

სადაც  არის რადიუს-ვექტორი, გავლებული იმ წრეწირის ცენტრამდე, რომელზეც მოძრაობს М წერტილი. მცირე დროში  ვექტორი შემობრუნდება ОО’ ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში მცირე  კუთხით. იგივე კუთხით შემობრუნდება  დროში სხეულის ნებისმიერი სხვა წერტილი, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში მანძილები ამ წერტილებს შორის უნდა შეცვლილიყო. ამდაგვარად, შემობრუნების კუთხე ახასიათებს მთელ მბრუნავ სხეულს დროის მცირე შუალედში. მოსახერხებელია შემოვიღოთ სხეულის ელემენტარული (მცირე) შემობრუნების  ვექტორი, რომელიც რიცხობრივად უდრის -ს და მიმართულია მყისიერი ღერძის გასწვრივ ისე, რომ მისი ბოლოდან სხეულის ბრუნვა საათის ისრის საწინააღმდეგოდ გამოჩნდეს.

კუთხური სიჩქარე

ვექტორულ სიდიდეს

(2.1)

ეწოდება სხეულის კუთხური სიჩქარე.  ვექტორი მიმართულია ბრუნვის მყისი ღერძის გასწვრივ მარჯვენა ბურღის წესით განსაზღვრულ მხარეს, ანუ ისევე, როგორც ელემენტარული შემობრუნების ვექტორი . კუთხური სიჩქარის მოდული უდრის -ს. ბრუნვას მუდმივი კუთხური სიჩქარით ეწოდება თანაბარი, ამასთან:

,

ანუ, თანაბარი ბრუნვისას  გვიჩვენებს ერთეულოვან დროში რა კუთხით შემობრუნდება სხეული.

ბრუნვის პერიოდი და სიხშირე

დროს, რომელშიც სხეული ასრულებს ერთ სრულ შემობრუნებას, ანუ შემობრუნდება  კუთხით, ეწოდება ბრუნვის პერიოდი. რადგან  დროის შუალედს შეესაბამება  შემობრუნების კუთხე, ამიტომ

,

საიდანაც ვღებულობთ

(2.2)

ერთეულოვან დროში  ბრუნვათა რიცხვი აშკარაა, რომ უდრის:

(2.3)

აქედან ვღებულობთ, რომ კუთხური სიჩქარე

(2.4)

კუთხური აჩქარება

არათანაბარი ბრუნვისას  არ რჩება მუდმივი. სიდიდეს, რომელიც ახასიათებს კუთხური სიჩქარის ცვლილების სისწრაფეს, ეწოდება კუთხური აჩქარება და ტოლია:

(2.5)

სხეულის უძრავი ღერძის ირგვლივ ბრუნვის შემთხვევაში  ვექტორის ცვლილება განპირობებულია მხოლოდ მისი რიცხვითი მნიშვნელობის ცვლილებით. ამასთან  კუთხური აჩქარების ვექტორი მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ იგივე მიმართულებით, რაც აქვს  აჩქარებული მოძრაობისას  და შენელებული მოძრაობისას  კი -ს საპირისპირო მიმართულება აქვს.

კუთხური და წრფივი სიდიდეების კავშირი

მბრუნავი სხეულის სხვადასხვა წერტილებს აქვთ განსხვავებული სიჩქარეები. ყოველი წერტილის სიჩქარე, მიმართულია რა შესაბამისი წრეწირის მხების გასწვრივ, უწყვეტად იცვლის მიმართულებას.  სიჩქარის სიდიდე განისაზღვრება სხეულის ωω ბრუნვის სიჩქარითა და წერტილის ბრუნვის ღერძიდან R დაშორებით. ვთქვათ ΔtΔt მცირე დროის განმავლობაში სხეული შემობრუნდა  კუთხით. ღერძიდან R მანძილით დაშორებული წერტილი გაივლის გზას

განსაზღვრების თანახმად წერტილის წრფივი სიჩქარე არის

(2.6)

ვიპოვნოთ მბრუნავი სხეულის წირითი აჩქარებები. ნორმალური აჩქარება:

ჩავსვათ სიჩქარის მნიშვნელობა (2.6)-დან, გვექნება:

(2.7)

ტანგენციური აჩქარება

გამოვიყენოთ ისევ გამოსახულება (2.6) და მივიღებთ:

(2.8)

ამდაგვარად, როგორც ნორმალური, ისე ტანგენციური აჩქარება იზრდება წრფივად წერტილის ღერძთან დაშორების მიხედვით.

ბრუნვითი მოძრაობის ტიპური ამოცანები

ამოცანა 2.1

ორი წერტილი  М₁ და М₂ მოძრაობენ ერთ წრეწირზე ერთი მიმართულებით შესაბამისად შემდეგი წესებით  და , სადაც s გამოსახულია სანტიმეტრებში, ხოლო  t – წანებში. s1 და s2 მანძილები ერთიდაიმავე წერტილიდან არის გადაზომილი. განვსაზღვროთ  М₁ და М₂ წერტილების პირველი შეხვედრის დრო და ამ მომენტისთვის მათი სიჩქარეებისა და აჩქარებების მნიშვნელობები, თუ წრეწირის რადიუსი არის R=16 სმ.

ამოცანა 2.2

ქანქარა ბორბლის ბრუნვისას მისი აჩქარება იცლებოდა  კანონით, სადაც a და b – რაღაც მუდმივი კოეფიციენტებია. რისი ტოლია ქანქარის კუთხური სიჩქარე დამუხრუჭების დაწყებიდან t წამის შემდეგ, თუ დამუხრუჭების დაწყებამდე ის იყო  ?

ამოცანა 2.3

R=0,5მ რადიუსის მქონე ბორბალი მოძრაობს გადატანითად v₀=0,1მ/წმ სიჩქარით. ბორბლის რადიუსი ბრუნავს 2 ბრ / წმ სიხშირით. შეადგინეთ ბორბლის გარე გარსის А წერტილის მოძრაობის განტოლება და განსაზღვრეთ როგორ იცვლება დროში მისი სიჩქარის მოდული. განსაზღვრეთ, თუ როგორ მოძრაობს ბორბალი გზის მიმართ: მისრიალებს თუ ჭარბ ბრუნს აკეთებს.

წყარო