ფიზიკა – ბრუნვითი მოძრაობის დინამიკა

ბრუნვითი მოძრაობის თავისებურებანი

განვიხილოთ მოძრაობა მყარი სხზეულისა, რომელსაც აქვს O₁O₂ ბრუნვის ღერძი. ამ სხეულზე А წერტილში მოდებულია ნებისმიერად მიმართული  ძალა, რომელიც შეიძლება დავყოთ ვერტიკალურ და ჰორიზონტალურ მდგენელებად. ვერტიკალურმა მდგენელმა შეიძლება გამოიწვიოს სხეულის გადაადგილება ბრუნვის ღერძის მიმართულებით ამიტომ ბრუნვითი მოძრაობის განხილვისას ის შეიძლება გამოვრიცხოთ. ჰორიზონტული მდგენელი , თუ ის არ გადაიკვეთება O₁O₂ ღერძთან იწვევს სხეულის ბრუნვას. ამ ძალის მოქმედება დამოკიდებულია მის რიცხვით მნიშვნელობაზე და ბრუნვის ღერძიდან მისი მოქმედების წრფის დაშორებაზე.

ბრუნვის მომენტი (ანუ ძალის მომენტი)

ვთქვათ სხეულზე O₁O₂ ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში მოქმედებს  ძალა. დავშალოთ ეს ძალა ორ მდგენელად:  და 

 ძალა კვეთს ბრუნვის ღერძს და შესაბამისად არ მოქმედებს სხეულის ბრუნვაზე. მდგენელის მოქმედებით სხეული შეასრულებს ბრუნვით მოძრაობას O₁O₂ ღერძის გარშემო. ბრუნვის ღერძიდან  ძალის მოქმედების წრფემდე r დაშორებას ეწოდება  ძალის მხარი. О წერტილის მიმართ ძალის მომენტი ეწოდება  ძალის ნამრავლს r ძალის მხარზე.

იმის გათვალისწინებით, რომ  

ძალის მომენტი იქნება

.

ვექტორული ალგებრის მიხედვით ეს გამოსახულება წარმოადგენს  ძალის მოდების წერტილში გავლებული  რეადიუს ვექტორისა და ამ  ძალის ვექტორულ ნამრავლს. ამდენად, О წერტილის მიმართ ძალის მომენტი არის ვექტორული სიდიდე და ტოლია

(5.1)

ძალის მომენტის ვექტორი მიმართულია  და -ზე გავლებული სიბრტყის პერპენდიკულარულად და მათთან ადგენს ვექტორთა მარჯვენა სამეულს (М ვექტორის თავიდან ჩანს, რომ ბრუნვა უმოკლესი მანძილით -დან -ისკენ ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ).

მატერიალური წერტილის ინერციის მომენტი უძრავი ბრუნვის ღერძის მიმართ

ნიუტონის მეორე კანონის თანახმად m მასის სხეულზე მოქმედი  ძალის ტანგენციური მდგენელისთვისა და   აჩქარებისათვის შეგვიძლია ჩავწეროთ

იმის გათვალისწინებით, რომ

 და   

გვექნება

გავამრავლოთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები r_i-ზე და მივიღებთ

(5.2)

ანუ

მატერიალური წერტილის  მასის ნამრავლს ბრუნვის ღერძიდან მისი მანძილის  კვადრატზე ეწოდება მატერიალური წერტილის ბრუნვის ღერძის მიმართ ინერციის მომენტი:

(5.3)

მყარი სხეულის ინერციის მომენტი

ხეულის ინერციის მომენტის საპოვნელად მისი შემადგენელი ყველა წერტილის ინერციის მომენტები უნდა ავჯამოთ

(5.4)

ზოგადად, თუ სხეული უწყვეტია, იგი შედგება უსასრულოდ მცირე   მასის მქონე უამრავი წერტილისგან და სხეულის ინერციის მომენტი განისაზღვრება ინტეგრალით

(5.5)

სადაც r არის  მანძილი ბრუნვის ღერძიდან.

სხეულის საზღვრებში მასის განაწილება შეიძლება დავახასიათოთ სიმკვრივის მეშვეობით

(5.6)

სადაც m არის ერთგვაროვანი სხეულის მასა, V – მისი მოცულობა. არაერთგვაროვანი სხეულისთვის ეს ფორმულა იძლევა სიმკვრივის საშუალო მნიშვნელობას.

ამ შემთხვევაში მოცემულ წერტილში სიმკვრივე განისაზღვრება ასე

და მაშინ

(5.7)

ინტეგრირების საზღვრები დამოკიდებულია სხეულის ფორმებსა და ზომებზე. განტოლების ინტეგრირება ყველაზე ადვილია, როცა ბრუნვის ღერძი გადის სხეულის სიმძიმის ცენტრზე. განვიხილოთ ინტეგრირების შედეგები სხეულთა ყველაზე მარტივი  (გეომეტრიულად წესიერი) ფორმებისთვის, რომელთა მასები თანაბრად არის განაწილებული სხეულში.

ღრუ R რადიუსიანი ცილინდრი თხელი კედლებით.

თხელკედლებიანი ღრუ ცილინდრისთვის

სავსე ერთგვაროვანი დისკი. ბრუნვის ღერძი არის დისკის ღერძი. რადიუსია , მასა m, სიმკვრე ,დისკის სიმაღლე h. დისკის შიგნით ამოვჭრათ წარმოსახვითი ცილინდრი კედლის სისქით  და მასით .  მისთვის გვექნება

მთელი დისკი შეიძლება დავყოთ უსასრულო რაოდენობის ცილინდრებად და მერე ავჯამოთ:

ბირთვის ინერციის მომენტი სიმძიმის ცენტრზე გამავალი ბრუნვის ღერძის მიმართ.

L სიგრძისა და m მასის ლილვის ინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძის მიმართ, რომელიც გადის:

а) ლილვის ცენტრზე – 

б) ლილვის საწყისზე – 

შტეინერის თეორემა. გვაქვს სხეული, რომლის ინერციის მომენტი მასათა ცენტრზე გამავალი  ბრუნვის ღერძის მიმართ ცნობილია. უნდა განისაზღვროს ინერციის მომენტი ნებისმიერი  ღერძის მიმართ, რომელიც  ღერძის პარალელურია. შტეინერის თეორემის თანახმად, სხეულის ინერციის მომენტი ნებისმიერი ღერძის მიმართ ტოლია ამ ღერძის პარალელური ღერძის მიმართ მისი ინერციის მომენტის ჯამისა სხეულის მასისსა და ამ ღერძებს შორის მანძილის კვადრატის ნამრავლთან:

(5.7)

ნიუტონის მეორე კანონი ბრუნვითი მოძრაობისთვის და მისი ანალიზი

(5.2) და (5.3) განტოლებების გათვალისწინებით, სხეულის ბრუნვის მომენტი 

(5.8)

ანუ

ეს გამოსახულება წარმოადგენს ნიუტონის მეორე კანონის ანალოგს მბრუნავი სხეულისთვის, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ უძრავი ღერძის ირგვლივ ბრუნვისას მყარი სხეულის კუთხური აჩქარება  პირდაპირპროპორციულია ბრუნვის მომენტისა და უკუპროპორციულია ამ ღერძის მიმართ ინერციის მომენტისა. ამ გამოსახულებიდან გამომდინარეობს, რომ ინერციის მომენტი არის ინერციის ზომა უძრავი ღერძის მიმართ ბრუნვითი მოძრაობისას. გადატანითი მოძრაობისას, როგორც ცნობილია, ინერციის ზომა არის სხეულის მასა.

მატერიალური წერტილისა და მყარი სხეულის იმპულსის მომენტი

მატერიალური წერტილის  რადიუს-ვექტორის მის  იმპულსსზე ვექტორულ ნამრავლს უწოდებენ  იმპულსის მომენტს ამ წერტილისა О წერტილის მიმართ.

.

 ვექტორს ზოგჯერ უწოდებენ ასევე მატერიალური წერტილის მოძრაობის რაოდენობის მომენტს. ის მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ,  და  ვექტორებზე აგებული სიბრტყის პერპენდიკულარულად და ადგენს მათთან ვექტორთა მარჯვენა სამეულს (მისი წვეროდან დაკვირვებით ჩანს, რომ ბრუნვა უმოკლესი მიმართულებით -დან  -კენ სრულდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ).

სისტემის ყველა მატერიალური წერტილის  იმპულსისი მომენტების ვექტორულ ჯამს უწოდებენ О წერტილის მიმართ სისტემის იმპულსის მომენტს (მოძრაობის რაოდენობას) . :

ვექტორები  და  ურთიერთპერპენდიკულარულია და სხეულის ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში არიან. ამიტომ . წრფივი და კუთხური სიდიდეების კავშირის გათვალისწინებით

და ის მიმართულია სხეულის ბრუნვის ღერძის გასწვრივ იგივე მიმართულებით რაც .

ამდენად

ბრუნვის ღერძის მიმართ სხეულის იმპულსის მომენტი

ანუ

(5.9)

შესაბამისად, ბრუნვის ღერძის მიმართ სხეულის იმპულსის მომენტი უდრის იმავე ღერძის მიმართ სხეულის ინერციის მომენტის ნამრავლს ამ ღერძის ირგვლივ სხეულის ბრუნვის სიჩქარეზე.

ბრუნვითი მოძრაობის დინამიკის ძირითადი განტოლება

(5.8) განტოლების თანახმად ნიუტონის მეორე კანონი ბრუნვითი მოძრაობისთვის არის

განსაზღვრების თანახმად კუთხური აჩქარება არის  და ამიტომ ეს განტოლება შეიძლება გადავწეროთ ასე

(5.9) განტოლების გათვალისწინებით

ანუ

(5.10)

ამ გამოსახულებას ეწოდება ბრუნვითი მოძრაობის დინამიკის ძირითადი განტოლება და ასე ფორმულირდება: მყარი სხეულის მოძრაობის რაოდენობის ცვლილება , ტოლია ამ სხეულზე მოქმედი ყველა გარე ძალის იმპულსის მომენტისა .

მოძრაობის რაოდენობის მომენტის მუდმივობის კანონი

ბრუნვითი მოძრაობის დინამიკის ძირითადი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ

ჩაკეტილი (იზოლირებული) სისტემისთვის სხეულზე მოქმედი ყველა გარე ძალის მომენტის ვექტორი  არის ნულის ტოლი და

ანუ

ეს არის მოძრაობის რაოდენობის მომენტის მუდმივობის კანონი და ასე ფორმულირდება: თუ სისტემაზე მოქმედი ყველა ძალის ჯამური მომენტი სისტემის უძრავი ბრუნვის ღერძის მიმართ ნულის ტოლია, მაშინ ამ ღერძის მიმართ იმპულსის მომენტი არ იცვლება მოძრაობის პროცესში. 

ჰიროსკოპი. ჰიროსკოპული ეფექტი

ჰიროსკოპი (ანუ ბზრიალა) ეწოდება მასიურ სიმეტრიულ სხეულს, რომელიც დიდი სიჩქარით ბრუნავს სიმეტრიის ღერძის ირგვლივ.

ჰიროსკოპის მოძრაობის რაოდენობის მომენტი ემთხვევა მისი ბრუნვის ღერძს. იმისთვის, რათა შევცვალოთ სივრცეში ჰიროსკოპის ღერძი, ანუ შევცვალოთ  ვექტორის მიმართულება აუცილებელია მბრუნავი სხეულის დინამიკის ძირითადი კანონის  თანახმად ვიმოქმედოთ მასზე გარე ძალების   მომენტით. ვთქვათ ეს არის ძალთა წყვილი  რომელიც ქმნის ბრუნვის მომენტს  ღერძის მიმართ და ძევს ნახაზის სიბრტყეში ОО ღერძის პერპენდიკულარულად (ბრუნვა ხდება  ღერძის ირგვლ). ამასთან დაიმზირება შემდეგი მოვლენა, რომელსაც ჰიროსკოპის ეფექტი ეწოდა: ძალთა წყვილის მოქმედებით, რომელთაც უნდა გამოეწვიათ ჰიროსკოპის ОО ღერძის შემობრუნება  ღერძის ირგვლივ, ჰიროსკოპის ღერძი ბრუნდება  წრფის ირგვლივ, რომელიც პერპენდიკულარულია ამ ღერძებისა (ОО და ). ერთი შეხედვით ჰიროსკოპის «არაბუნებრივი» მოქცევა, როგორც ირკვევა სრულად შეესაბამება ბრუნვითი მოძრაობის დინამიკის კანონებს, ანუ საბოლოოდ ნიუტონის კანონებს. განვიხილოთ ჰიროსკოპის მოქცევა  ღერძის გასწვრივ მოქმედი  ძალთა მომენტის მოქმედებით.  დროში ჰიროსკოპის მოძრაობის რაოდენობის მომენტი  მიიღებს ნაზრდს , რომელსაც აქვს ისეთივე მიმართულება, როგორც -ს. ჰიროსკოპის მოძრაობის რაოდენობის მომენტი  დროის შემდეგ იქნება  და ძევს ნახაზის სიბრტყეზე.  ვექტორის მიმართულება ემთხვევა ჰიროსკოპის ბრუნვის ღერძის ახალ მიმართულებას. ამდენად, ჰიროსკოპის ღერძი შემობრუნდება  ღერძის ირგვლივ (რომელიც ნახაზის სიბრტყის პერპენდიკულარულია), ამასთან ისე, რომ კუთხე -სა და -ს შორის მცირდება: თუ ვიმოქმედებთ ჰიროსკოპზე ხანგრძლივად გარე ძალების მუდმივი მომენტით, მაშინ ჰიროსკოპის ღერძი საბოლოოდ დადგება ისე, რომ საკუთარი ბრუნვის ღერძი და მიმართულება დაემთხვევა გარე ძალების ზემოქმედებით ბრუნვის ღერძსა და მიმართულებას (ვექტორი , ემთხვევა მიმართულებით  ვექტორს).

ბრუნვადი სხეულის კინეტიკური ენერგია

ნებისმიერად მოძრავი სხეულის კინეტიკური ენერგია ტოლია ყველა იმ n მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგიების ჯამისა, რომლებადაც შეიძლება ეს სხეული დაიყოს:

თუ სხეული ბრუნავს უძრავი ღერძის გარშემო  კუთხური სიჩქარით, მაშინ  i-ური წერტილის წირითი სიჩქარე ტოლია , სადაც  არის მანძილი ამ წერტილიდან ბრუნვის ღერძამდე. შესაბამისად

(5.11)

სადაც J  არის ღერძის მიმართ სხეულის ინერციის მომენტი.

ზოგადად მყარი სხეულის მოძრაობა შეიძლება წარმოვადგინოთ ორი მოძრაობის ჯამის სახით – გადატანითი სიჩქარით, რომელიც ტოლია მისი მასათა ცენტრის  სიჩქარისა და მასათა ცენტრზე გამავალი მყისი ღერძის ირგვლივ  კუთხური სიჩქარით ბრუნვა. ამასთან სხეულის კინეტიკური ენერგიის გამოსახულება მიიღებს სახეს

(5.12)

სადაც  არის მასათა ცენტრზე გამავალი მყისი ღერძის მიმართ სხეულის ინერციის მომენტი.

გარე ძალების მუშაობა მყარი სხეულის ბრუნვის დროს

განვიხილოთ  მასის წერტილზე გარე  ძალის მოქმედება.   დროში ელემენტური მასა  გადის გზას   .  ძალის მუშაობა ამ გზაზე ძალის პროექციით გადაადგილების მიმართულებაზე, რაც ცხადია უდრის ძალის ტანგენციალურ მდგენელს   .

მაგრამ   ტოლია  ძალის  ბრუნვის ღერძის მიმართ  მომენტის მოდულისა. მუშაობა, და იქნება დადებითი თუ  -ს აქვს ისეთივე მიმართულება, როგორც   , და უარყოფითი თუ   და ვექტორების მიმართულებები ურთიერთსაპირისპიროა.

იმის გათვალისწინებით, რომ  

სხეულზე მოდებული ყველა ძალის მუშაობა

(5.13)

სრული მუშაობა

(5.14)

ძირითადი ფორმულები და კანონები

ძალის მომენტი რაიმე წერტილის მიმართ არის ამ წერტილიდან ძალის მოდების წერტილამდე გავლებული რადიუს ვექტორისა და ძალის ვექტორის ვექტორული ნამრავლი

(1)

ძალის მომენტის მოდული

(2)

ან სხვანაირად

M=Fl

(3)

სადაც l არის ძალის მხარი და წარმოადგენს უმოკლეს მანძილს ბრუნვის ღერძიდან ძალის მოქმედების წრფემდე.

ბრუნვის ღერძის მიმართ მატერიალური წერტილის ინერციის მომენტი არის

(4)

სადაც m_i  არის მატერიალური წერტილის მასა, ხოლო r_i  არის მატერიალური წერტილის რადიუსი ბრუნვის ღერძიდან.

მყარი სხეულის ინერციის მომენტი მისი რომელიმე ღერძის მიმართ არის

ან

(5)

სადაც ρ არის ნივთიერების სიმკვრივე; dV – ელემენტური მოცულობა. ინტეგრირებით შეიძლება მოიძებნოს მარტივი ფორმის სხეულების ღერძული ინერციის მომენტები, როცა ბრუნვის ღერძი მასათა ცენტრზე გადის.

R რადიუსის სავსე ცილინდრი
R რადიუსის დისკო
R გარე რადიუსისა და  r შიდა რადიუსის მქონე მილი
R რადიუსის თხელკედლიანი ცილინდრი (მანჟეტი)
R რადიუსის სავსე ბირთვი
R რადიუსის სფერული გარის (თხელი სფერული ფენა)
l  სიგრძის წვრილი ძელაკი
სწორკუთხა პარალელეპიპედი
კონუსი
პირამიდა

შტეინერის თეორემის თანახმად, სხეულის ინერციის მომენტი ნებისმიერი ღერძის მიმართ ტოლია ამ ღერძის პარალელური ღერძის მიმართ მისი ინერციის მომენტის ჯამისა სხეულის მასისსა და ამ ღერძებს შორის მანძილის კვადრატის ნამრავლთან:

(6)

სადაც m – სხეულის მასაა, d – ღერძებს შორის მანძილი.

მატერიალური წერტლის იმპულსის მომენტი რაიმე ღერძის მიმართ არის ამ ბრუნვის ღერძიდან ამ წერტილამდე გავლებული რადიუს-ვექტორის ვექტორული ნამრავლი იმპულსის ვექტორზე.  

(7)

სხეულის იმპულსის მომენტი (მოძრაობის რაოდენობის მომენტი) რაიმე ღერძის მიმართ

(8)

ბრუნვითი მოძრაობის დინამიკის ძირითადი კანონი: 

(9)

სადაც M  – სხეულზე მოდებული ძალების ჯამური მომენტია.

თუ J=const  მაშინ

(10)

მბრუნავი სხეულის უძრავი ღერძის მიმართ ბრუნვის კინეტიკური ენერგია

(11)

 სრული კინეტიკური ენერგია

(12)

სადაც v_c მასათა ცენტრის გადატანითი მოძრაობის სიჩქარეა.

გარე ძალების მუშაობა მყარი სხეულის ბრუნვის დროს:

(5.13)

ბრუნვითი მოძრაობის დინამიკა, ტიპური ამოცანები

ამოცანა 5.1

m = 80 გრ მასის სრული (სავსე)  დისკის ტიპის ჭოჭონაქზე გადადებულია წვრილი, უჭიმვადი, მოქნილი და უწონო ძაფი, რომლის ბოლოებზეც ჩამოკიდებულია ტვირთები მასებით m₁ = 100 გრ და m₂ = 200 გრ. რა აჩქარებით იმოძრავებენ ტვირთები, თუ მათ ნებაზე მივუშვებთ? ჭოჭონაქის ღერძის ხახუნი უგულებელვყოთ.

ამოცანა 5.2

განვსაზღვროთ m = 1 კგ მასისა და R = 10 სმ რადიუსის სავსე ბრუნვის ელიფსოიდის ინერციის მომენტი იმ ღერძის მიმართ, რომელიც მასათა ცენტრზე გადის.

ამოცანა 5.3

OO, O₁O₁ , O₂O₂  ღერძების მიმართ განვსაზღვროთ ინერციის მომენტი სისტემისა, რომელიც შედგება ერთმანეთთან ხისტად მიერთებული m_sph= 2m მასის და R რადიუსის სფეროსა და ორი ერთნაირი m მასისა და l=l= 4R სიგრძის მქონე ძეაკისგან. სამივე ღერძის გადაკვეთის წერტილი იმყოფება ვერტიკალური ძელაკის შუაში.

ამოცანა 5.4

წყლის მილზე რეზინის მილაკით მიერთებულია ll სიგრძის და  S განიკვეთის მინის მილი, რომელიც ბოლოში მართი კუთხით არის მოხრილი. განსაზღვრეთ რა კუთხით გადაიხრება ვერტიკალიდან მინის მილი, თუ მისგან წყლის გამოდინების სიჩქარე არის vv, ხოლო მინის მილის მასა m_T..

ამოცანა 5.5

ავტომობილი ადგილიდან იძვრის a აჩქარებით. ერთ-ერთი კარი, რომლის ინერციის მომენტი უძრავი ღერძის მიმართ არის J არის ღია და მისი სიბრტყე ავტომობილის ძარასთან ადგენს მართ კუთხეს. დროის რა მონაკვეთში დაიკეტება კარი. კარის მასათა ცენტრი b მანძილით არის დაშორებული ანჯამებიდან.  

წყარო