ფიზიკა – მატერიალური წერტილის და მყარი სხეულის გადატანითი მოძრაობის დინამიკა

ნიუტონის პირველი კანონი

ნიუტონის პირველი კანონი ამბობს: ყოველი სხეული ინარჩუნებს უძრაობის ან თანაბარი წრფივი მოძრაობის მდგომარეობას მანამ, სანამ სხვა სხეულებისგან ზემოქმედება არ აიძულებს შეიცვალოს ეს მდგომარეობა. ნიუტონის პირველი კანონი აჩვენებს, რომ უძრაობის ან თანაბარი წრფივი მოძრაობის მდგომარეობა არ მოითხოვს გარედან ზემოქმედებას. ამაში ვლინდება სხეულების განსაკუთრებული დინამიური თვისება, ინერტულობა. შესაბამისად ნიუტონის პირველ კანონს უწოდებენ ინერციის კანონს, ხოლო სხეულების სხვა სხეულების მხრიდან ზემოქმედებისგან თავისუფალ მოძრაობას – ინერციით მოძრაობას.

ცდა აჩვენებს, რომ ნიუტონის პირველი კანონი არ სრულდება ათვლის ყველა სისტემის მიმართ. ათვლის სიტემებს, რომელთა მიმართაც სრულდება ინერციის კანონი, ეწოდება ათვლის ინერციული სისტემები. ანუ, ეს ისეთი ათვლის სისტემებია, რომელთა მიმართაც მატერიალური წერტილი, რომელზეც არ ზემოქმედებენ სხვა სხეულები, ან უძრავია, ან მოძრაობს წრფივად და თანაბრად.

ძალა

ძალის ქვეშ ვგულისხმობთ ფიზიკურ სიდიდეს, რომელიც წარმოადგენს სხეულზე სხვა სხეულების მექანიკური ზემოქმედების ზომას.

სხეულზე მოდებული ძალა სრულად არის განსაზღვრული, თუ მითითებულია მისი რიცხვითი მნიშვნელობა, მოქმედების მიმართულება და მოდების წერტილი М. მოდების წერტილიდან ძალის მიმართულებით გავლებულ წრფეს, ძალის მოქმედების წრფეს უწოდებენ. ორ ძალას ეწოდება რიცხობრივად ტოლი და ურთიერთსაპირისპირო, თუ სხეულის ერთსადაიმავე წერტილში მათი მოდება არ იწვევს სხეულის მექანიკური მოძრაობის ცვლილებას. კერძოდ, თუ ასეთი ძალების მოდებამდე სხეული უძრავი იყო, მაშინ მათი მოდების შემდეგაც უძრავი დარჩება. ამიტომ ამბობენ, ორი რიცხობრივად ტოლი და საპირისპიროდ მიმართული ძალა, რომლებიც სხეულის ერთსადაიმავე წერტილშია მოდებული ერთმანეთს აწონასწორებენ. 

თუ სხეულზე ერთდროულად მოქმედებს n ძალა, რომლებიც სხეულის ერსადაიმავე А წერტილშია მოდებული, მათი შეცვლა შეიძლება ერთი ექვივალენტური  ძალით, რომელიც ტოლია მათი გეომეტრიული ჯამისა

(3.1)

და მოდებულია იმავე წერტილში. ამ ძალას ტოლქმედს უწოდებენ. აბსოლუტურად მყარ სხეულზე ძალის ზემოქმედება არ იცვლება მისი მოქმედების წრფის გასწვრივ გადატანით.

მასა. ნიუტონის მეორე კანონი

ცდა აჩვენებს, რომ  ძალის მოქმედებით თავისუფალი სხეული იცვლის გადატანითი მოძრაობის სიჩქარეს და იძენს  აჩქარებას. ამასთან სხეულის აჩქარება პირდაპირპროპორციულია გამომწვევი ძალისა და აქვს ამ ძალის მიმართულება:

სადაც k₁ არის დადებითი პროპორციულობის კოეფიციენტი, რომელიც მუდმივია ყოველი კონკრეტული სხეულისთვის.

აჩქარების სიდიდე, რომელიც შეიძინა სხეულმა  ძალის ზემოქმედებით, დამოკიდებულია სხეულზე, რომელზეც მოქმედებს ძალა. რადგან დიდ სხეულებს უფრო ძნელად მიენიჭება აჩქარება ვიდრე მცირეებს, მიღებულია ძალასა და აჩქარებას შორის პროპორციულობა გამოვსახოთ შემდეგი ფორმით:

(3.2)

m პროპორციულობის კოეფიციენტი დამოკიდებულია საგანზე. მისი სიდიდე იზრდება სხეულის ზომების ზრდით, თუ ისინი ერთგვაროვანნი არიან. m მუდმივას უწოდებენ სხეულის მასას. მასა წარმოადგენს სხეულის ინერტულობის საზომს გადატანითი მოძრაობისას. რაც ნაკლებია სხეულის ინერტულობა, მით მეტი აჩქარება უნდა შეიძინოს მან რაღაც გარკვეული ძალის ზემოქმედების შედეგად. ასე რომ, ნიუტონის მეორე კანონი შეიძლება ასე ჩამოვაყალიბოთ: სხეულის აჩქარება პირდაპირპროპორციულია მისი გამომწვევი ძალისა, ემთხვევა მას მიმართულებით და უკუპროპორციულია სხეულის მასისა.

ძალების მოქმედების დამოუკიდებლობის პრინციპი

თუ მატერიალურ წერტილზე მოქმედებს რამდენიმე ძალა, მაშინ

(3.3)

სადაც  არის მატერიალური წერტილის აჩქარება, რომელიც გამოწვეულია ერთი _i ძალით. ასე რომ, თუ სხეულზე მოქმედებს რამდენიმე ძალა, მაშინ თითოეული მათქანი ანიჭებს მატერიალურ წერტილს ისეთ აჩქარებას, როგორსაც ის მიანიჭებდა სხვა ძალების ზემოქმედების არარსებობის შემთხვევაში. ამას ეწოდება ძალების ქმედების დამოუკიდებლობის პრინციპი.

ნიუტონის მესამე კანონი

ნიუტონის მესამე კანონი შემდეგნაირად ფორმულირდება:

ორი მატერიალური წერტილი მოქმედებენ ერთმანეთზე ძალებით, რომლებიც სიდიდეებით ტოლია ერთმანეთის და ურთიერთსაპირისპიროდ არიან მიმართულნი იმ წრფის გასწვრივ, რომელიც აერთებს ამ წერტილებს:

12=21

(3.4)

უნდა აღინიშნოს, რომ ძალები ₁₂ და ₂₁ მოდებულია სხვადასხვა სხეულზე და ამიტომ ერთმანეთს არ აწონასწორებენ.

კოორდინატთა გალილეის გარდაქმნა და ფარდობითობის მექანიკური პრინციპი

განვიხილოთ ათვლის ორი სისტემა: უძრავი (К) და პირველის მიმართ Х ღერძის გასწვრივ მუდმივი  სიჩქარით მოძრავი  (K’). М სხეულის კოორდინატები К სისტემაში იყოს x:y:z , ხოლო К’-ში – x’:y’:z’. ეს კოორდინატები ერთმანეთს უკავშირდებიან თანაფარდობებით, რომელთაც ეწოდებათ გალილეის გარდაქმნები

გავაწარმოოთ ეს განტოლებები დროით და გავითვალისწინოთ, რომ =const, ვიპოვნით თანაფარდობებს სიჩქარეებსა და აჩქარებებს შორის:

ამდენად, თუ К სისტემაში სხეულს აქვს а აჩქარება, მაშინ ასეთივე აჩქარება ექნება მას К’ სისტემაშიც.

ნიუტონის მეორე კანონის თანახმად:

ანუ ნიუტონის მეორე კანონი ორივე სისტემაში ერთნაირია.

როცა  გვაქვს ინერციით მოძრაობა, ამდენად სამართლიანია ნიუტონის პირველი კანონიც, ანუ ჩვენს მიერ განხილული მოძრავი სისტემა არის ინერციული. შესაბამისად, ნიუტონის განტოლებები მატერიალური წერტილისთვის, ასევე მატერიალური წერტილების ნებისმიერი სისტემისთვის ერთნაირია ყველა ინერციულ ათვლის სისტემაში – ინვარიანტულია გალილეის გარდაქმნების მიმართ. ამ შედეგს ეწოდება ფარდობითობის მექანიკური პრინციპი (გალილეის ფარდობითობის პრინციპი) და ფორმულირდება შემდეგნაირად: ჩაკეტილი სისტემის წრფივი და თანაბარი მოძრაობა (რომელიმე ათვლის სისტემის მიმართ) არ მოქმედებს მასში მექანიკური პროცესების მიმდინარეობის კანონზომიერებებზე. შესაბამისად, მექანიკაში ყველა ინერციული სისტემა თანაბარია. ამიტომ თვით სისტემის შიგნით ვერავითარი მექანიკური ცდით ვერ დავადგენთ მოძრაობს სისტემა წრფივად და თანაბრად თუ უძრავია.

მატერიალური წერტილის გადატანითი მოძრაობის დინამიკის ძირითადი განტოლება. მატერიალური წერტილის იმპულსი

ნიუტონის კანონი ძეიძლება ჩაიწეროს სხვა ფორმით. განსაზღვრების თანახმად:

,

მაშინ

 ანუ 

 ვექტორს უწოდებენ სხეულის იმპულსს ან სხეულის მოძრაობის რაოდენობას და მიმართულებით იგი ემთხვევა  სიჩქარეს, ხოლო  გამოსახავს ამ ვექტორის ცვლილებას.

გარდავქმნათ უკანასკნელი გამოსახულება შემდეგნაირად:

(3.6)

 ვექტორს ეწოდება  ძალის იმპულსი.

ეს განტოლება წარმოადგენს მატერიალური წერტილის დინამიკის ძირითადი კანონის გამოსახულებას: სხეულის იმპულსის ცვლილება მასზე მოქმედი ძალის იმპულსის ტოლია.

 სისტემის ინერციის ცენტრი

ადრე განხილულ ნიუტონის კანონებში იგულისხმებოდა, რომ სხეულს აქვს იმდენად მცირე ზომები, რომ შეიძლება მისი წარმოდგენა მატერიალურ წერტილად. ნებისმიერი არადეფორმირებადი სხეულის მოძრაობა შეიძლება აღიწეროს (3.6)-ის ანალოგიური განტოლებით. თუ სხეული შედგება n მატერიალური წერტილებისგან მასებით  და რადიუს-ვექტორებით , მაშინ მატერიალური წერტილების სისტემის მასათა ცენტრი ეწოდება სისტემის ისეთ წერტილს, რომლის რადიუს-ვექტორიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

(3.7)

სადაც  და  არის სისტემის i-ური წერტილის მასა და რადიუს-ვექტორი, შესაბამისად ხოლო m – სისტემის სრული მასა.

შესაბამისად ცენტრისა და სისტემის ყველა წერტილის დეკარტის კოორდინატებს შორის დამოკიდებულება არის ასეთი:

ინერციის ცენტრის სიჩქარეა:

(3.8)

სისტემის იმპულსი. სისტემის ყველა მატერიალური წერტილის იმპულსთა გეომეტრიულ ჯამს უწოდებენ სისტემის იმპულსს და აღნიშნავენ -თი:

,

მაშინ მასათა ცენტრის სიჩქარე იქნება

(3.9)

ამდენად, (3.9)-დან გამოდის, რომ სისტემის იმპულსი ტოლია მთელი სისტემის მასის ნამრავლისა მისი მასათა ცენტრის სიჩქარეზე:

სისტემის იმპულსით გამოსახული ნიუტონის მეორე კანონის უნივერსალური ფორმა.

თუ გამოვიყენოთ იმპულსის გამოსახულებას

და ნიუტონის მეორე კანონს, შეიძლება ჩავწეროთ

(3.11)

სადაც  არის სხეულზე მოქმედი ყველა გარე ძალის ტოლქმედი.

უკანასკნელი განტოლება არის ნებისმიერ მექანიკურ სისტემაზე იმპულსის განტოლების განზოგადება, რადგან მისი წარმოდგენა ყოველთვის შეიძლება ისეთი მატერიალური წერტილების სისტემად, რომლებიც ურთიერთქმედებენ ერთმანეთთან და გარეშე სხეულებთან. გარეშე სხეულები ეწოდება სხეულებს, რომლებიც არ შედიან განსახილველი სისტემის შემადგენლობაში, ხოლო ძალებს, რომლებიც ამ სხეულებისგან მოქმედებს სისტემაზე, ეწოდებათ გარეშე ძალები. შესაბამისად, ძალებს, რომლითაც ურთიერთქმედებენ მატერიალური წერტილები, რომლებიც ეკუთვნის მოცემულ სისტემას, ეწოდება შიდა ძალები და მათი ტოლქმედი ტოლია ნულის. განტოლება (3.11) აჩვენებს, რომ მექანიკური სისტემის იმპულსის ცვლილების სიჩქარე ტოლია სისტემაზე მოქმედი ყველა გარეშე ძალის მთავარი ვექტორისა (ტოლქმედისა).

მყარი სხეულის გადატანითი მოძრაობის დინამიკის ძირითადი განტოლება

გამოვიყენოთ განტოლება:

 და ,

შეგვიძლია ჩავწეროთ

ანუ

(3.12)

ამდენად, მექანიკური სისტემის ინერციის ცენტრი მოძრაობს როგორც მატერიალური წერტილი, რომლის მასა ტოლია მთელი სისტემის მასისა და რომელზეც მოქმედებს ძალა, რომელიც ტოლია სისტემაზე მოდებული გარეშე ძალების მთავარი ვექტორისა. ზოგადად მყარი სხეულის მოძრაობა შეიძლება განვიხილოთ  როგორც ჯამი ორი მოძრაობისა: გადატანითი სიჩქარით , რომელიც ტოლია ცხეულის ინერციის ცენტრის  სიჩქარისა, და ინერციის ცენტრის ირგვლივ ბრუნვა. ამიტომ უკანასკნელ განტოლებას ხშირად უწოდებენ მყარი სხეულის გადატანითი მოძრაობის დინამიკის ძირითად განტოლებას.

იზოლირებული (ჩაკეტილი) სისტემა. იმპულსის მუდმივობის კანონი.

იმპულსის მუდმივობის კანონი არის ნიუტონის მეორე და მესამე კანონების შედეგი. მას ადგილი აქვს სხეულთა იზოლირებულ (ჩაკეტილ) სისტემაში.

იზოლირებული (ჩაკეტილი) ეწოდება სისტემას, რომლის თითოელ წევრზეც არ მოქმედებს გარეშე ძალები. იზოლირებულ სისტემაში თავს იჩენს შინაგანი ძალები, სისტემაში შემავალ სხეულბს შორის ურთიერთქმედების ძალები.

რადგან ჩაკეტილ სისტემაში გარეშე ძალები არ გვაქვს, ამიტომ

ანუ

(3.13)

ეს ტოლობა გამოხატავს იმპულსის მუდმივობის კანონს, რომლის თანახმადაც სხეულთა ჩაკეტილი სისტემის იმპულსის სრული ვექტორი დროთა განმავლობაში არ იცვლება.

რადგან , ამიტომ ჩაკეტილ სისტემაში მიმდინარე ნებისმიერი პროცესის დროს, მისი ინერციის ცენტრის სიჩქარე უცვლელი რჩება.

დინამიკაში ამოცანების ამოხსნის მეთოდური მითითებები.

კლასიკურ ფიზიკაში, როგორც უკვე ვაჩვენეთ, მატერიალური წერტილის მდგომარეობა სრულად განისაზღვრება მისი კოორდინატებით х, у, z. და სიჩქარის კომპონენტებით  დროის მოცემულ მომენტში, ანუ  რადიუს ვექტორით და მისი სიჩქარით. მითითებული ფუნქციონალური დამოკიდებულებების გათვალისწინებით ნიუტონის მეორე კანონს აქვს სახე:

(3.14)

თუ ჩავთვლით, რომ ცნობილია რეზულტატური ძალა  როგორც კოორდინატებისა და დროის ფუნქცია, მაშინ განტოლება (3.14) წარმოადგენს მეორე რიგის დიფერენციალურ განტოლებას მატერიალური წერტილის  რადიუს-ვექტორის მიმართ.

თუ ამოვხსნით (3.14) განტოლებას მოცემული მარჯვენა ნაწილით, შეიძლება განვსაზღვროთ სხეულის რადიუს-ვექტორი დროის ნებისმიერ მომენტში და ამით სხეულის მოძრაობის ტრაექტორია დავადგინოთ. ამასთან, მოძრაობის დამოუკიდებლობისგან გამომდინარე, რთულ ვექტორულ განტოლებას (3.14), რომელიც ზოგადად აღწერს  სხეულის მრუდწირულ მოძრაობას, ცვლიან მისი ექვივალენტური სამი განტოლების სისტემით, თითოეული მათგანი აღწერს წრფივ მოძრაობას შესაბამისი х, у და z ღერძის გასწვრივ.

(3.15)

სადაც ,  და  არის  ვექტორის პროექციები კოორდინატთა ღერძებზე. х, у და z  კოორდინატებს განსაზღვრავენ (3.15) განტოლების ორმაგი ინტეგრირებით. ყოველი ინტეგრირებისას წარმოიშვება განუსაზღვრელი მუდმივები. ამიტომ მოძრაობის კანონის ცალსახად გამოყოფისთვის აუცილებელია მოძრაობის განტოლებას დაემატოს ორი პირობა, რომელიც განსაზღვრავს ამ მუდმივებს. ამ პირობებს აფიქსირებენ, მატერიალური წერტილის მდგომარეობის მოცემით რაღაც მომენტში (ჩვეულებრივ საწყის მომენტში), ანუ მიუთითებენ რადიუს-ვექტორის  მნიშვნელობას ან კოორდინატების  მნიშვნელობებს და სიჩქარის  მნიშვნელობას საწყის t=0 მომენტში. ასეთნაირად, (3.15)-ის ინტეგრირების შედეგად ვღებულობთ х, у, z კოორდინატებს, როგორც დროისა და ინტეგრირების ორი  მუდმივის ფუნქციებს:

ტიპური ამოცანები დინამიკაში

ამოცანა 3.1

ჭოჭონაქზე, რომლის მასა და ღერძთან ხახუნი შეიძლება უგულებელიყოს, გადაკიდებულია უჭიმვადი და უწონო ძაფი. ძაფის ბოლებზეებზე ჰკიდია ორი გირი. ნებაზე მიშვებული გირები იწყებენ მოძრაობას. განვსაზღვროთ სისტემის აჩქარება, ძაფების დაჭიმულობის ძალები, ჭოიჭონაქის ღერძზე დაწოლის ძალა, თუ გირების მასებია 1 კგ და 2 კგ. 

ამოცანა 3.2

m₁=5 კგ მასის ტვირთი, რომელიც უძრავი ღერძის მქონე ჭოჭონაქზე გადადებული უჭიმვადი და უწონო ძაფით დაკავშირებულია მეორე m₂ = 1,2 კგ მასის მქონე ტვირთთან, მოძრაობს ქვემოთ დახრილ სიბრტყეზე. ვიპოვნოთ ძაფის დაჭიმულობის ძალა და ტვირთების აჩქარება, თუ ხახუნის კოეფიციენტი პირველ ტვირთსა და სიბრტყეს შორის  μμ= 0,1. სიბრტყის დახრის კუთხე ჰორიზონტთან ადგენს  αα=30°. ჭოჭონაქის მასა და ხახუნი ულულებელვყოთ.  

ამოცანა 3.3

დიდი სიმაღლიდან ვარდნილი სხეულის უუuu შემდგარი სოჩქარე (რადგან ჰაერის ხახუნის ძალა სიჩქარის ზრდასთან ერთად იზრდება ამიტომ დგება სიჩქარე, როცა ჰაერის წინააღმდეგობის ძალა აწონასწორებს მიზიდულობის ძალას და ამ მომენტიდან სხეული ამ შემდგარი მუდმივი სიჩქარით აგრძელებს მოძრაობას) არის 80 მ/წმ. განვსაზღვროთ დრო, როცა სიჩქარე აღწევს შემდგარი სიჩქარის ნახევარს. ჰაერის წინაღობის ძალა ჩავთვალოთ სხეულის სიჩქარის პროპორციული. თავისუფალი ვარდნის აჩქარება იყოს 9,8 მ/წმ² .

წყარო