ფიზიკა – მუშაობა ელექტრულ ველში

პოტენციალთა სხვაობა. პოტენციალი

ელექტრული ველის დაძაბულობა არის ვექტორული სიდიდე. გარკვეულ შემთხვევებში უფრო მოხერხებულია ველის სკალარული მახასიათებლების  – პოტენციალთა სხვაობისა და პოტენციალის გამოყენება. მათი განსაზღვრებისთვის დავეყრდნობით მუხტზე ელექტრულ ველში მოქმედი ძალის კონსერვატულობის თვისებას. კონსერვატულობის თვისება გამომდინარეობს კულონის ძალის ცენტრულობიდან. კლასიკური მექანიკის განმარტებით ცენტრული ეწოდება ძალას, რომლის სიდიდეც დამოკიდებულია მხოლოდ ურთიერთქმედ სხეულებს შორის მანძილზე და მიმართულია მათ ცენტრებს შორის შემაერთებელი წირის გასწვრივ. გავიხსენოთ ასევე, რომ კონსერვატული ეწოდება ძალებს, რომელთა შესრულებული მუშაობა არ არის დამოკიდებული მოძრაობის ტრაექტორიის ფორმაზე. ასეთი ძალების მიერ შესრულებული მუშაობა  განისაზღვრება მხოლოდ სხეულის გადაადგილების საწყისი და საბოლოო კოორდინატებით.

ელექტრული ველების სუპერპოზიციის პრინციპიდან გამომდინარეობს, რომ საცდელი მუხტის გადაადგილებაზე შესრულებული მუშაობა უძრავი მუხტების მიერ შექმნილ ველში, არის ალგებრული ჯამი მუშაობებისა, რომელსაც ასრულებენ თითოეული შემადგენელი მუხტის მხრიდან საცდელ მუხტზე მოქმედი ძალები. ანუ ასეთი ძალების („კულონური ძალების“) ველი ასევე არის კონსერვატული.

ამდენად, წერტილოვანი მუხტის წერტილი 1-დან წერტილ 2-ში გადაადგილებაზე ველის მიერ შესრულებული მუშაობა A_1-2 არის ამ ველის მახასიათებელი. მაგრამ ის დამოკიდებულია საცდელი მუხტის სიდიდეზეც. იმისათვის რათა დავახასიათოთ მხოლოდ ველი, უნდა გავყოთ ეს მუშაობა საცდელი მუხტის სიდიდეზე. რასაც მივიღებთ არის სწორედ „პოტენციალთა სხვაობა“. 

(განსაზღვრება) 1 და 2 წერტილებს შორის ელექტროსტატიკური ველის პოტენციალთა სხვაობა ეწოდება ველის მიერ ამ წერტილებს შორის საცდელი მუხტის გადაადგილებაზე შესრულებული მუშაობის ფარდობას ამ საცდელი მუხტის სიდიდესთან.

  φ1−φ2=Afiled12qtstφ1−φ2=A12filedqtst                (17.1)

Si სისტემაში პოტენციალთა სხვაობის ერთეული არის ვოლტი (1ვოლტი=1ჯოული/კულონი). თუ ვისწავლით რამენაირად (თეორიულად ან ექსპერიმენტულად) უძრავი მუხტების სისტემის ველის  პოტენციალთა სხვაობის განსაზღვრას, ეს მოგვცემს საშუალებას ნებისმიერი წერტილოვანი q  მუხტის ამ ველში გადაადგილებაზე ველის მიერ შესრულებული მუშაობა ვიპოვოთ ფორმულით:

              (17.2)

ამდენად, პოტენციალთა სხვაობა არის ელექტრული ველის ენერგეტიკული მახასიათებელი, რადგან უშუალო კავშირშია მუშაობის ცნებასთან.

მექანიკაში გვახსოვს პოტენციური ენერგიის ცნება და მუშაობის განმარტება, პრინციპით: ველის ძალების მუშაობა პოტენციური ენერგიის დანაკლისის ტოლია. ჩავწეროთ ფორმალურად ეს პრინციპი:

     17.3)

აქ U₁ და U₂ – პოტენციური ენერგიებია სისტემის «საწყის» («1») და «საბოლოო» («2») მდგომარეობებში, შესაბამისად. ჩვენი უძრავი მუხტების ელექტრული ველის შემთხვევაში – ეს არის წერტილოვანი q  მუხტის ენერგია «1» (კოორდინატებით {x₁,y₁,z₁})) მდგომარეობაში და მისი ენერგია «2» (კოორდინატებით{x₂,y₂,z₂}) მდგომარეობაში. ანუ ამ ველში მუხტის პოტენციური ენერგია არის კოორდინატების სკალარული ფუნქცია  U = U(x,y,z) (ან ). გამოსახულებების (17.2) და (17.3) შედარებით ვხედავთ, რომ  მოხერხებულია ჩაითვალოს, რომ პოტენციალთა სხვაობა არის სხვაობა ველის წერტილთა კოორდინატების კიდევ ერთი სკალარული φ(x,y,z)φ(x,y,z)ფუნქციის . ის დაკავშირებულია U(x,y,z)  პოტენციური ენერგიის ფუნქციასთან ამ მარტივი ტოლობით 

 ანუ რადგან

                (17.4)

ამბობენ, რომ ის „რიცხობრივად ერთეულოვანი დადებითი მუხტის პოტენციური ენერგიის ტოლია“ ველის მოცემულ წერტილში. ამ ფუნქციას ეწოდება ელექტროსტატიკური ველის „პოტენციალი“ მოცემულ წერტილში.

მთავარი არის, თუ როგორ ვიპოვოთ ეს ფუნქცია   (და ე.ი. ) მუხტების კონკრეტული სისტემის ველისთვის, როგორი უნდა იყოს მოქმედებათა თანმიმდევრობა. უწინარეს ყოვლისა უნდა შევთანხმდეთ ნორმირების პირობებზე: უნდა აირჩეს წერტილი Р₀, რომელშიც ველის პოტენციალს ჩავთვლით ნულად . ბევრ შემთხვევაში ასეთ წერტილს არჩევენ უსასრულოდ დაშორებულს, სადაც ველი არ არის  

ამისათვის უნდა მოიძებნოს ველის „კუთრი“ მუშაობა – ანუ მუშაობა, შეფარდებული მოცემული Р(x,y,z)  წერტილიდან Р₀ ნორმირების წერტილში გადასატანი საცდელი მუხტის სიდიდესთან. ანალიზური სახით ეს პოტენციალის განსაზღვრება ასე შეიძლება ჩაიწეროს:

(განსაზღვრება)

         (17.5)

გამოვსახოთ პოტენციალთა სხვაობა და პოტენციალი ველის ძალური მახასიათებლებით. ამისთვის ვწერთ:

ამოვწეროთ უკანასკნელი ტოლობა:

                  (17.6)

ეს გვაძლევს პოტენციალთა სხვაობის მოძებნის საშუალებას დაძაბულობის ცნობილი ფუნქციის მეშვეობით. ანალოგიურად პოტენციალისთვის:

და საბოლოოდ ნებისმიერი (x,y,z) კოორდინატების მქონე Р  წერტილის პოტენციალისთვის გვექნება:

                (17.7)

წერტილოვანი მუხტის ველის პოტენციალი

მივყვეთ პოტენციალის გამოთვლის პროცედურას და მივიღოთ წერტილოვანი მუხტის ველის პოტენციალის გამოსახულება. ამას დიდი მნიშვნელობა აქვს შემდგომში ნებისმიერად განაწილებული მუხტების სისტემის ველის პოტენციალის  გამოსათვლელად.

1. ნორმირება. პოტენციალი ნულის ტოლად ჩავთვალოთ იქ სადაც წერტილოვანი მუხტის ველი პრაქტიკულად არ არის: .

2. ტრაექტორიის არჩევა. ვთქვათ ნებისმიერი წერტილი  წყარო მუხტისგან იმყოფება r მანძილზე. რადგან შედეგი არ არის დამოკიდებული ტრაექტორიაზე, (17.7)  მრუდწირული ინტეგრალის გამოთვლისთვის ვირჩევთ უმარტივეს რადიალურად მიმართულ წრფეს მოცემული წერტილიდან ძალწირის გასწვრივ, რომელიც მიემართება უსასრულობაში.

3. გამოთვლა. (17.5) პოტენციალის განსაზღვრების შესაბამისად გამოვთვალოთ q  წერტილოვანი მუხტის შექმნილი ველის მიერ საცდელი მუხტის არჩეულ ტრაექტორიაზე გადასატანად შესრულებული კუთრი მუშაობა. არჩეული ტრაექტორიის გამო მრუდწირული ინტეგრალი იცვლება ჩვეულებრივი განსაზღვრული ინტეგრალით:

ახლა წერტილოვანი მუხტის ველის პროექციის ჩასმით (იხ. ტოლობა (15,5)) გვრჩება მხოლოდ მათემატიკური გარდაქმნები:

.

ცალკე ამოვწეროთ შესაძლო გარემომცველი აირის ან სითხის εε დიელექტრული შეღწევადობის გათვალისწინების დამატებით:

 .                   (17.8)

როგორც ვხედავთ წერტილოვანი მუხტის პოტენციალი r მანძილის უკუპროპორციულია.

ელექტრულ ველში ორი წერტილოვანი მუხტის ურთიერთქმედების ენერგია

უკვე ვიცით რას უდრის წერტილოვანი მუხტის ნებისმიერ მუხტთა სისტემის ველთან ურთიერთქმედების პოტენციური ენერგია (იხ. ტოლობა 17.4):

U(x,y,z) = q•φ(x,y,z).            (17.16)

ამიტომ q1 და  q2 მუხტების კერძო შემთხვევაში მათი ურთიერთქმედების პოტენციური ენერგია არის:

 .                 (17.17)

მოხერხებულია ეს განვიხილოთ, როგორც q2 მუხტის მეორე წყარო q1 მუხტის ელექტრულ ველთან ურთიერთქმედების პოტენციური ენერგია (ან პირიქით).

ექვიპოტენციური ზედაპირები

ველისა და პოტენციალის ენერგეტიკული დახასიათებისთვის შემოიღეს დამატებითი (ძალწირებთან ერთად) საილუსტრაციო მახასიათებელი – ექვიპოტენციურ ზედაპირთა სისტემა. დასახელებიდანვეა ნათელი (ექვი – ნიშნავს ტოლს), რომ ეს არის მუდმივი პოტენციალის მქონე ზედაპირები. ამ ზედაპირების გასწვრივ რა თქმა უნდა მუშაობა საერთოდ არ სრულდება. მუშაობა მაქსიმალურია იმ მიმართულებით საითაც ექვიპოტენციური ზედაპირების სიმჭიდროვე არის მაქსიმალური. ამ ადგილებში მაქსიმალურია ველის დაძაბულობაც. ადვილია იმის მიხვედრა, რომ ძალწირებისა და ექვიპოტენციური ზედაპირების გადაკვეთის წერტილებში ისინი ურთიერთმართობებია. მართლაც ექვიპოტენციურ ზედაპირზე ნებისმიერი გადაადგილება არ იწვევს მუშაობის შესრულებას, ეს კი შესაძლებელია თუ გადაადგილების მყის ვექტორზე დაძაბულობის ვექტორის მდგენელი არის ნული, ანუ ველის ძალწირი არის მისი მართობი. ქვევით მოყვანილია ჩვენი მსჯელობის მათემატიკური ფორმალიზმი:

ნახაზთან ერთად ის ადასტურებს ჩვენს მიერ უკვე ჩამოყალიბებული მტკიცების არსს: დაძაბულობის ძალწირები კვეთენ ექვიპოტენციურ ზედაპირებს მართი კუთხით!

მოვიყვანოთ ექვიპოტენციური ზედაპირების ნახაზები ჩვენთვის უკვე ცნობილი ელექტრული ველებისთვის ა) წერტილოვანი მუხტის ველი; ბ) ორი მოდულით ტოლი და საპირისპირო მუხტის მქონე წერტილოვანი მუხტის ველი; გ) საპირისპირო მუხტის მქონე ორი ბრტყლად პარალელური დიდი (მათ შორის მანძილთან შედარებით) ფირფიტის ველი.

წერტილოვანი მუხტების სისტემის ველის პოტენციალი

მარტივად საჩვენებელია, რომ q_i მუხტების სისტემის ველის პოტენციალისთვის სამართლიანია სუპერპოზიციის პრინციპი: ის ცალკეული მუხტის მიერ მოცემულ წერტილში შექმნილი პოტენციალის ალგებრული ჯამის ტოლია:

              (17.9)

ამ დებულების დამტკიცება ემყარება ორ ჩვენთვის ცნობილ გარემოებას: 1) პოტენციალი საცდელი მუხტის მოცემული წერტილიდან ნორმირების წერტილში გადატანაზე შესასრულებელი კუთრი მუშაობის ტოლია; 2) ძალის მუშაობა არის ადიტიური სიდიდე, ანუ სხეულზე მოქმედი რამდენიმე ძალის მუშაობა ყოველთვის ტოლია ცალკეული ძალის ამ სხეულზე მოქმედებით შესრულებული მუშაობების ალგებრული ჯამისა.

წერტილოვანი მუხტების სისტემის ველისთვის, შესაბამისად, შეიძლება 

                     (17.10)

სადაც r_i – არის i-ური მუხტისგან დაშორება {x,y,z}კოორდინატების მქონე ველის წერტილამდე. მოვიყვანოთ განვრცობილი დამუხტული სხეულის მიერ შექმნილი ველის პოტენციალის გამოთვლის მარტივი მაგალითი, რომელიც ემყარება პოტენციალთა სუპერპოზიციის პრინციპს.

მაგალითი. განვსაზღვროთ  თანაბრად დამუხტული R რადიუსის მქონე რგოლის მიერ შექმნილი ველის φ(x) პოტენციალი ამ რგოლის ღერძზე. რგოლის მუხტია q, x – არის რგოლის ცენტრიდან დაშორება.

პოტენციალი არის სკალარული სიდიდე და რგოლის აზრობრივად  Δq_i  მუხტის მქონე ელემენტებად დაყოფის შემდეგ, სუპერპოზიციის პრინციპის შესაბამისად უნდა შევკრიბოთ სრულიად ერთნაირი სიდიდეები – ველის პოტენციალები, რომლებსაც ჩვენთვის საინტერესო წერტილში ქმნიან რგოლის ცალკეული ელემენტები:

დარჩენილი ჯამი გვაძლევს, რა თქმა უნდა, რგოლის სრულ q  მუხტს. ამიტომ შედეგი საბოლოოდ ასე ჩავწეროთ:

       (17.11)

ეს შედეგი მათემატიკური თვალსაზრისით ძალიან მარტივად მივიღეთ სწორედ პოტენციალის სკალარული ხასიათის გამო.

ელექტროსტატიკური ველის დაძაბულობის კავშირი პოტენციალთა სხვაობასთან

თუ    ფუნქციით მოცემული გვაქვს ძალური ველი, ნებისმიერ ორ წერტილს შორის პოტენციალთა სხვაობა, როგორც ვიცით, არის:

               (9.6)

გვაინტერესებს პირიქით, თუ ვიცით ფუნქცია φ (x, y, z) , მოვძებნოთ  დაძაბულობა.

განვსაზღვროთ ველის ძალების მიერ q_tst საცდელი მუხტის მცირე  გადადგილებაზე შესრულებული მუშაობა ორი მეთოდით:

1. dA = q_tst·E_l ·dl.

აქ გამოყენებულია ჩვენთვის გარგად ცნობილი თანაფარდობები:

dA = Fl •dl – ელემენტური მუშაობის განსაზღვრა;

F_l = q_tst·E_l – დაძაბულობის განსაზღვრა;

2. dA = – q_tst·dφ.

აქ დავეყრდენით პოტენციალთა სხვაობის განსაზღვრას q_tst·(φ₁ -φ₂) = A₁₂. ნიშანი “–“, აიხსნება იმით, რომ dφ – ეს არის პოტენციალის უსასრულოდ მცირე ნაზრდი Δφ = (φ₂ – φ₁) = –(φ₁ – φ₂).

ამოვწეროთ 1 და 2 თანაფარდობები განტოლებათა სისტემის სახით:

აქედან მივიღებთ:

   ან:                (17.12)

ეს თანაფარდობაა ნიშნავს, რომ ველის დაძაბულობის გეგმილი    მიმართულებაზე ველის ამ წერტილიდან წერტილამდე ველის პოტენციალის ცვლილების სიჩქარის ტოლია. ნიშანი “–“ ასახავს იმ ფაქტს, რომ ველის დაძაბულობა მიმართულია პოტენციალის კლების მიმართულებით.

რადგან  უსასრულოდ მცირე გადაადგილების მიმართულება ნებისმიერად გვქონდა აღებული, ამიტომ ის შეიძლება იყოს მიმართული ნებისმიერი კოორდინატთა ღერძის გასწვრივ და ამიტომ მივიღებთ:

.            (17.13)

ამიტომ თვით ელექტრული ველის დაძაბულობის ვექტორისთვის შეგვიძლია დავწეროთ:

.                       (17.14)

ანუ მათემატიკურად ეს შეიძლება ჩაიწეროს გრადიენტის ოპერატორის მეშვეობითაც:

                       (17.15)

ნიშანი «მინუსი» გრადიენტის წინ მიუთითებს, რომ  ელექტროსტატიკური ველის დაძაბულობის ვექტორი ყოველთვის მიმართულია მისი პოტენციალის კლების მიმართულებით.

მოვიყვანოთ მიღებული შედეგის გამოყენების მაგალითი.

მაგალითი. განვსაზღვროთ  R  რადიუსის მქონე თანაბრად დამუხტული რგოლის ელექტრული ველის დაძაბულობა რგოლის ღერძზე ველის φ(x) პოტენციალის ცნობილი დამოკიდებულებით. რგოლის მუხტია q, x – არის რგოლის ცენტრიდან დაშორება ღერძზე.

წინა თავში მივიღეთ, რომ  (იხ. 17.11)

(17.15)-ის გამოყენებით მივირებთ:

შედეგი, რა თქმა უნდა, ზუსტად ემთხვევა ადრე მიღებულ გამოსახულებას (15.6).

წყარო